SOBRE OS INVARIANTES ORTOGONAIS UTILIZADOS PARA A CLASSIFICAÇÃO DE SUPERFÍCIES QUADRICAS

Resumo

O estudo de superfícies quadricas (S.Q.) geralmente é realizado em livros de geometria analítica, sendo dado grande enfoque nas suas equações canônicas. Entretanto, tal estudo poderia ser retomado em livros de álgebra linear visando a exploração de autovalores e autovetores bem como a junção da álgebra e geometria, o que é feito raramente. A fundamentação para a passagem da equação genérica, de 2° grau, da S.Q. g(x,y,z)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0 para as equações canônicas é realizada através de cálculo e análise de invariantes ortogonais de g. O objetivo deste trabalho é mostrar as propriedades dos invariantes ortogonais, as quais fundamentam a simplificação de g para as formas canônicas, nos casos de quadricas não-degeneradas, ou plano(s), reta(s), ponto, ou conjunto vazio no caso de degeneradas. Para cumpri-lo, realizamos pesquisa bibliográfica em 5 livros que tratam de S.Q. visando conceber uma demonstração de que os quatro invariantes ortogonais independem de bases ortonormais. Resultados e discussão: Consideremos duas bases ortonormais, de R^3 com mesma orientação, a base canônica (C) e a base &. Existe uma matriz simétrica M4, de ordem quatro, associada a g(x,y,z) em relação a base canônica, onde M4=(a_{ij}). Por outro lado, se considerarmos um novo sistema de coordenadas, com origem em um ponto (q1,q2,q3) e com vetores diretores sendo os da base &, a equação de g será dada por h(u,v,w)=b_{11}u^2+ b_{22}v^2+b_{33}w^2+2b_{12}uv+2b_{13}uw+2b_{23}vw+2b_{14}u+2b_{24}v+2b_{34}w+b_{44}=0, onde a matriz simétrica associada a h, será N4=(b_{ij}). É possível determinar uma relação entre N4 e M4, considerando a matriz mudança de base de & para C, denotada por P=(p_{ij}). Definimos uma matriz T, quadrada de ordem 4, tal que, T={t_{ij}=p_{ij}, se 0