Comparação Entre as Fórmulas da Trigonometria Esférica, Puissant e Vincenty no Problema Inverso da Geodésia.

Resumo

A Geodésia, ciência dedicada ao estudo da forma, dimensões da Terra e de seu campo gravitacional, constitui base essencial para a determinação precisa de coordenadas e para a produção de representações cartográficas confiáveis. Nos levantamentos geodésicos, executados sobre a superfície física da Terra usando como superfície de referência um elipsóide de revolução, resolvem-se basicamente dois problemas classificados como direto e inverso. No problema direto da geodésia, a partir de um ponto de coordenadas (latitude e longitude), orientação (azimute) e distância elipsoidal conhecidos, são determinadas as coordenadas de um segundo ponto. Este trabalho teve como objetivo aplicar as fórmulas clássicas da trigonometria esférica e das equações desenvolvidas por Louis Puissant e Thaddeus Vincenty, cujos métodos representam marcos importantes na evolução da precisão dos cálculos geodésicos, para calcular as distâncias elipsoidais e azimutes geodésicos entre dois pontos de coordenadas conhecidas, abordando o problema inverso da geodésia. Para este intento, foi desenvolvida uma planilha eletrônica para os cálculos das distâncias e azimutes desde um ponto localizado no cruzamento da linha do equador terrestre com o merdiano de Greenwich (latitude e longitude igual a zero) até 208 pontos, usando coordeanadas específicas visando variar as distâncias, em progressão geométrica, até aproximadamente 33.554 km (a próxima distância ultrapassaria o comprimento da circunferência terrestre usando o equador como referência). Também buscou-se variar os azimutes em valores aproximados de 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° e 315°. Foram realizadas comparações entre três pares de métodos: Trigonometria Esférica x Puissant (TE x PU), Trigonometria Esférica x Vincenty (TE x VI) e Puissant x Vincenty (PU x VI). O teste comparativo teve o propósito de avaliar o desempenho relativo de cada abordagem, ressaltando que o método proposto por Vincenty foi usado como controle, já que provê precisões lineares (distâncias) submilimétricas e angulares (azimutes) até a sexta casa decimal dos segundos, em distâncias até 18.000 km. Os valores analisados mostraram que as diferenças de distâncias variaram de acordo com o azimute. Considerando uma diferença máxima de 1 cm (precisão linear nominal média esperada por receptores GNSS geodésicos), para aproximadamente 0° de azimute, a distância máxima para manter a diferença máxima sugerida foi para TE x VI (72 km), para 45°, PU x VI (25 km), para 90°, TE x VI (350 km), para 135° novamente PU x VI (25 km), para 180°, TE x VI (72 km), para 225°, PU x VI (25 km), para 270°, TE x VI (350 km), e para 315°, PU x VI (25 km). O menor valor alcançado foi de aproximadamente 600 m entre TE x PU e TE x VI para os azimutes de 45°, 135°, 225° e 315°. Para os azimutes, considerando uma diferença máxima de 5 (precisão angular de goniômetros de precisão alta), a distância máxima para manter a diferença sugerida foram todas para PU x VI: 3.311 km (0° e 180°), 1.903 km (45º e 275°), 1.142 km (90° e 270°) e 2.604 km (135° e 315°). TE x PU e TE x VI só alcançaram a diferença limite nos azimutes de 0° e 180°, com 1.137 km e 1.065 km respectivamente. Os valores alcançados confirmam que a precisão relativa entre os métodos depende diretamente da direção considerada devido à figura geométrica adotada (elipsóide), sendo que o método baseado nas equações da Trigonometria Esférica se apresentou mais próximo a Vincenty, com melhor desempenho nas direções de 0°, 90°, 180° e 270° e extremamente limitado nas demais direções. Isto se explica porque, sendo as equações da Trigonometria Esférica baseadas na esfera e, Puissant e Vincenty, no elipsóide, os cálculos são efetuadas sobre um círculo nas direções 90° e 270°, gerando bom desempenho. À 0° e a 180°, as determinações são sobre uma elipse quase circular (valor de achatamento muito pequeno), o que reduz o desempenho mas mantém a aplicabilidade. Nas demais direções, as elipses têm maior impacto no alcance, limitado a menos de 1 km. Assim, Puissant pode ser considerado o método mais confiáveis para o transporte de coordenadas geodésicas, depois de Vincenty, para distâncias até 25 km (para precisões de até 1 cm). A trigonometria esférica, embora simplificada e menos precisa, mostrou relevância como ferramenta didática e de apoio em comparações iniciais. Em distâncias maiores que a metade do comprimento de um círculo equatorial (aproximadamente 20.000 km), existe uma limitação direcional pois, uma linha geodésica, sempre unirá dois pontos sobre o globo obedecendo a menor distância, por isso, acima dos 20.000 km, distâncias e azimutes tendem a ter comportamentos anômalos, com valores invertidos. A análise comparativa evidencia que a exatidão geodésica não é uniforme em todas as direções, sendo importante adotar métodos elipsoidais para atender às exigências de precisão.