(untitled) (Anais do Salão Inovação, Ensino, Pesquisa e Extensão, 2020)
O estudo de superfícies quadricas (S.Q.) geralmente é realizado em livros de geometria analítica, sendo dado grande enfoque nas suas equações canônicas. Entretanto, tal estudo poderia ser retomado em livros de álgebra linear visando a exploração de autovalores e autovetores bem como a junção da álgebra e geometria, o que é feito raramente. A fundamentação para a passagem da equação genérica, de 2° grau, da S.Q. g(x,y,z)=a_11x^2+a_22y^2+a_33z^2+2a_12xy+2a_13xz+2a_23yz+2a_14x+2a_24y+2a_34z+a_44=0 para as equações canônicas é realizada através de cálculo e análise de invariantes ortogonais de g. O objetivo deste trabalho é mostrar as propriedades dos invariantes ortogonais, as quais fundamentam a simplificação de g para as formas canônicas, nos casos de quadricas não-degeneradas, ou plano(s), reta(s), ponto, ou conjunto vazio no caso de degeneradas. Para cumpri-lo, realizamos pesquisa bibliográfica em 5 livros que tratam de S.Q. visando conceber uma demonstração de que os quatro invariantes ortogonais independem de bases ortonormais. Resultados e discussão: Consideremos duas bases ortonormais, de R^3 com mesma orientação, a base canônica (C) e a base &. Existe uma matriz simétrica M4, de ordem quatro, associada a g(x,y,z) em relação a base canônica, onde M4=(a_ij). Por outro lado, se considerarmos um novo sistema de coordenadas, com origem em um ponto (q1,q2,q3) e com vetores diretores sendo os da base &, a equação de g será dada por h(u,v,w)=b_11u^2+ b_22v^2+b_33w^2+2b_12uv+2b_13uw+2b_23vw+2b_14u+2b_24v+2b_34w+b_44=0, onde a matriz simétrica associada a h, será N4=(b_ij). É possível determinar uma relação entre N4 e M4, considerando a matriz mudança de base de & para C, denotada por P=(p_ij). Definimos uma matriz T, quadrada de ordem 4, tal que